Информация о задаче

Задача 54480

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике две высоты равны 3 и 2 $\sqrt{2}$ , а их точка пересечения делит третью высоту в отношении 5:1, считая от вершины треугольника. Найдите площадь треугольника.

Подсказка

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — острые углы треугольника, из вершин которых проведены данные высоты. Составьте систему тригонометрических уравнений относительно $\alpha$ и $\beta$ .

Решение

Пусть AA₁, BB₁ и CC₁ — высоты треугольника ABC, H — точка их пересечения; AA₁ = 3, BB₁ = 2 $\sqrt{2}$ . Обозначим

$\displaystyle \angle$ CAB = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle \beta$ , HC₁ = x.

Тогда

CC₁ = 6x, $\displaystyle \angle$ AHC₁ = $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ BHC₁ = $\displaystyle \alpha$ .

Из прямоугольных треугольников AA₁B и BB₁A находим, что

AB = $\displaystyle {\frac{3}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{2}}{\sin \alpha}}$ .

Поэтому sin $\beta$ = ${\frac{3\sin \alpha}{2\sqrt{2}}}$ . Из прямоугольных треугольников BC₁C и BC₁H находим, что

BC₁ = $\displaystyle {\frac{6x}{{\rm tg }\beta}}$ = xtg $\displaystyle \alpha$ .

Поэтому

tg $\displaystyle \alpha$ tg $\displaystyle \beta$ = 6 $\displaystyle \Rightarrow$ sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ = 6 cos $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \Rightarrow$ sin² $\displaystyle \alpha$ sin² $\displaystyle \beta$ = 36 cos² $\displaystyle \alpha$ cos² $\displaystyle \beta$ .

Подставим в последнее уравнение

sin² $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{9\sin ^{2}\alpha}{8}}$ , cos² $\displaystyle \beta$ = 1 - sin² $\displaystyle \beta$ = 1 - $\displaystyle {\frac{9\sin ^{2}\alpha}{8}}$ , cos² $\displaystyle \alpha$ = 1 - sin² $\displaystyle \alpha$ .

Получим уравнение

35 sin⁴ $\displaystyle \alpha$ - 68 sin² $\displaystyle \alpha$ + 32 = 0,

из которого находим, что sin $\alpha$ = ${\frac{2}{\sqrt{5}}}$ ( $\alpha$ и $\beta$ меньше 90^o). Поэтому

cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{5}}}$ , sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{3}{\sqrt{10}}}$ , cos $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{10}}}$ , AB = $\displaystyle {\frac{3}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle \sqrt{10}$ .

Из треугольника ABC находим по теореме синусов:

AC = $\displaystyle {\frac{AB\sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}}$ = 3 $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.AC sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{10}$ ^.3 $\displaystyle \sqrt{2}$ ^. $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{5}}}$ = 6.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2244