Информация о задаче

Задача 54490

Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
Темы:	[	Формула Герона	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Вершины треугольника соединены с центром вписанной окружности. Проведёнными отрезками площадь треугольника разделилась на три части, равные 28, 60 и 80. Найдите стороны треугольника.

Подсказка

Примените формулу Герона.

Решение

Пусть a, b и c — искомые стороны треугольника, являющиеся основаниями треугольников с площадями 28, 60 и 80 соответственно, r — радиус вписанной окружности треугольника. Тогда

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ar = 28, $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ br = 60, $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ cr = 80.

Из этих равенств выразим a, b и c через r:

a = $\displaystyle {\frac{56}{r}}$ , b = $\displaystyle {\frac{120}{r}}$ , c = $\displaystyle {\frac{160}{r}}$ .

По формуле Герона выразим через r площадь данного треугольника:

28 + 60 + 80 = $\displaystyle \sqrt{\frac{168}{r}\cdot \frac{112}{r}\cdot \frac{48}{r}\cdot \frac{8}{r}}$ .

Из полученного уравнения находим, что r = 4. Следовательно, a = 14, b = 30, c = 40.

Ответ

14, 30 и 40.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2254