Задача 54491

Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон находится на гипотенузе. Боковые отрезки гипотенузы равны m и n. Найдите площадь квадрата.

Подсказка

Через вершину квадрата, принадлежащую катету данного треугольника, проведите прямую, параллельную другому катету.

Решение

Пусть вершины M и N квадрата MNKL находятся соответственно на катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC, а вершины K и L — на гипотенузе AB. При этом AL = m, BK = n.

Первый способ.

Через точку N проведём прямую, паралелльную AC, до пересечения с гипотенузой AB в точке P. Из равенства прямоугольных треугольников AML и PNK следует, что PK = AL = m.

Сторона NK указанного квадрата есть высота прямоугольного треугольника PNB, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому

NK² = PK ^. BK = mn.

Следовательно, площадь квадрата MNLK равна mn.

Второй способ.

Обозначим BAC = . Тогда BKN = . Из прямоугольных треугольников ALM и NKB находим, что

tg = , tg = ,

поэтому

= .

Следовательно,

S_MNKL = ML² = ML ^. KL = AL ^. BK = mn.

Пусть вершины M и N квадрата MNKL находятся соответственно на катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC, а вершины K и L — на гипотенузе AB. При этом AL = m, BK = n.

Первый способ.

Через точку N проведём прямую, паралелльную AC, до пересечения с гипотенузой AB в точке P. Из равенства прямоугольных треугольников AML и PNK следует, что PK = AL = m.

Сторона NK указанного квадрата есть высота прямоугольного треугольника PNB, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому

NK² = PK ^. BK = mn.

Следовательно, площадь квадрата MNLK равна mn.

Второй способ.

Обозначим BAC = . Тогда BKN = . Из прямоугольных треугольников ALM и NKB находим, что

tg = , tg = ,

поэтому

= .

Следовательно,

S_MNKL = ML² = ML ^. KL = AL ^. BK = mn.

Пусть вершины M и N квадрата MNKL находятся соответственно на катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC, а вершины K и L — на гипотенузе AB. При этом AL = m, BK = n.

Первый способ.

Через точку N проведём прямую, паралелльную AC, до пересечения с гипотенузой AB в точке P. Из равенства прямоугольных треугольников AML и PNK следует, что PK = AL = m.

Сторона NK указанного квадрата есть высота прямоугольного треугольника PNB, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому

NK² = PK ^. BK = mn.

Следовательно, площадь квадрата MNLK равна mn.

Второй способ.

Обозначим BAC = . Тогда BKN = . Из прямоугольных треугольников ALM и NKB находим, что

tg = , tg = ,

поэтому

= .

Следовательно,

S_MNKL = ML² = ML ^. KL = AL ^. BK = mn.

Ответ

mn.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2255