Информация о задаче

Задача 54496

Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Медианы прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, относятся как $\sqrt{2}$ : 1. Найдите острые углы треугольника.

Выразите указанные медианы через катеты треугольника.

Пусть катеты треугольника равны 2x и 2y. Тогда квадраты указанных медиан равны 4x² + y² и x² + 4y². Из условия задачи следует уравнение

$\displaystyle {\frac{4x^{2}+ y^{2}}{x^{2}+ 4y^{2}}}$ = 2, или 7y² = 2x².

Поэтому тангенс одного из острых углов треугольника равен

$\displaystyle {\frac{2y}{2x}}$ = $\displaystyle {\frac{y}{x}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{2}{7}}$ .

arctg $\sqrt{\frac{2}{7}}$ , $\arcctg$ $\sqrt{\frac{2}{7}}$ .


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2260