Информация о задаче

Задача 54500

Темы:	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В сегмент, дуга которого равна 60^o, вписан квадрат. Найдите площадь квадрата, если радиус круга равен 2 $\sqrt{3}$ + $\sqrt{17}$ .

Подсказка

Обозначьте через x сторону квадрата и примените теорему Пифагора к треугольнику с вершинами: в центре окружности, в середине стороны квадрата и в вершине квадрата, принадлежащей этой стороне.

Решение

Пусть O — центр окружности, R — её радиус ( R = 2 $\sqrt{3}$ + $\sqrt{17}$ ), x — сторона квадрата ABCD, причём точки C и D принадлежат хорде PQ данного сегмента.

Проведём через центр окружности прямую, перпендикулярную PQ. Пусть K и M — точки её пересечения с хордами PQ и AB. Тогда

OK = $\displaystyle {\frac{R\sqrt{3}}{2}}$ , MB = $\displaystyle {\frac{x}{2}}$ , KM = x.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMB. По теореме Пифагора

(OK + KM)² + MB² = OB², или $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{R\sqrt{3}}{2} + x}\right.$ $\displaystyle {\frac{R\sqrt{3}}{2}}$ + x $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{R\sqrt{3}}{2} + x}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle {\frac{x^{2}}{4}}$ = R².

Отсюда находим, что

x = $\displaystyle {\frac{R(\sqrt{17} - 2\sqrt{3})}{5}}$ = $\displaystyle {\frac{(2\sqrt{3} + \sqrt{17})(\sqrt{17} - 2\sqrt{3})}{5}}$ = 1.

Следовательно, S_ABCD = 1.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2264