Задача 54502

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°. Докажите, что в этом треугольнике отрезок перпендикуляра, проведённого к гипотенузе через её середину до пересечения с катетом, втрое меньше большего катета.

Решение

  Пусть M – середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC,  ∠A = 30°,  K – такая точка катета AC, для которой  KM ⊥ AB. Тогда  KM = ½ AK.
  Поскольку  CM = ½ AB = MB,  то треугольник CMK – равнобедренный, а так как  ∠MBC = 60°,  то этот треугольник равносторонний. Поэтому
∠KMC = 30° = ∠KCM.
  Следовательно, треугольник CKM – равнобедренный. Значит,  CK = KM = ¹/₃ AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2266