Задача 54547

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Средняя линия трапеции ] [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Найдите геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых.

Решение

  Пусть l₁ и l₂ — данные параллельные прямые, точка A лежит на l₁, а точка B – на l₂. Через середину M отрезка AB проведём прямую l, параллельную данным.
  Если X и Y – произвольные точки, лежащие на прямых l₁ и l₂ соответственно и отличные от A и B, то прямая l содержит среднюю линию трапеции ABYX, то есть проходит через середину N отрезка XY.
  Если точка X совпадает с A или Y – с B, то это тоже верно.
  Обратно, любая точка N прямой l является серединой какого-то отрезка с концами на прямых l₁ и l₂ соответственно. Действительно, пусть прямая AN пересекает пересекает l₂ в некоторой точке Z, тогда MN – средняя линия треугольника BAZ.

Ответ

Прямая, равноудалённая от двух данных.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2441