ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54551
Темы:    [ ГМТ - прямая или отрезок ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны точки A и B . Найдите геометрическое место точек M , для которых разность квадратов длин отрезков AM и BM постоянна.

Решение



Пусть P — проекция точки M на прямую AB и AM > BM . Тогда по теореме Пифагора

AM2 - AP2 = BM2 - BP2 = MP2.

Следовательно,
AM2 - BM2 = AP2 - BP2.


Ясно, что если M1 — любая точка прямой MP , то
AM21 - BM21 = AP2 - BP2 = AM2 - BM2.

Таким образом, достаточно на прямой AB найти точку P такую, что разность AP2 - BP2 равна заданной величине. Тогда искомое геометрическое место точек есть прямая, проходящая через точку P перпендикулярно данной прямой AB .


Пусть A и B — данные точки и AB = c , M — точка, для которой MB2- MA2 = d — данное число. Выберем на плоскости прямоугольную систему координат следующим образом. Начало координат — точка A , ось абсцисс направлена по лучу AB , ось ординат перпендикулярна AB . Выпишем координаты данных точек: A(0;0) и B(c;0) .
Для того, чтобы точка M(x;y) принадлежала искомому геометрическому месту точек, необходимо и достаточно, чтобы
MB2 - MA2 = d, или (x-c)2+ y2 - (x-c)2- y2 = d.

После упрощения получим уравнение x = , т.е. уравнение прямой, перпендикулярной AB .

Ответ

Прямая, перпендикулярная AB .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2445

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .