Задача 54557

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

На окружности фиксированы точки A и B, а точка C перемещается по этой окружности. Найдите множество точек пересечения высот треугольника ABC.

Подсказка

Выразите угол между высотами AA₁ и BB₁ через угол C.

Решение

Пусть H — точка пересечения высот AA₁ и BB₁ треугольника ABC. Тогда

AHB = 180^o - C.

Поэтому точка пересечения высот каждого треугольника ABC лежит на окружности, симметричной данной относительно прямой AB.

С другой стороны, каждая точка окружности, симметричной данной относительно прямой AB (за исключением двух точек, лежащих на перпендикулярах к AB, проходящих через точки A и B), является точкой пересечения высот треугольника ABC с вершиной C, лежащей на данной окружности.

Ответ

Окружность без двух точек.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2451