Задача 54575

Темы:    [ Построения ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Ким Л.В.

С помощью циркуля и линейки постройте на сторонах AB и BC треугольника ABC точки соответственно X и Y так, что AX = BY и XY || AC.

Подсказка

Проведите через точку Y прямую, параллельную стороне AB.

Решение

Предположим, что нужные точки X и Y построены. Через точку Y проведём прямую, параллельную стороне AB, до пересечения со стороной AC в точке M. Тогда YM = XA = BY. Поэтому треугольник BYM — равнобедренный, MBY = BMY = ABM. Следовательно, BM — биссектриса угла B треугольника ABC.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Проведём биссектрису BM треугольника ABC. Через точку M проведём прямую, параллельную AB. Точка её пересечения со стороной BC есть искомая точка Y. Через точку Y проведём прямую, параллельную AC. Точка пересечения этой прямой со стороной AB есть искомая точка X.

Дйствительно, поскольку четырёхугольник AXYM — параллелограмм, то AX = MY, а т.к. BM — биссектриса угла ABC и MY || AB, то

MBY = ABM = BMY.

Значит, треугольник MBY — равнобедренный. Следовательно, BY = MY = AX.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2470