Информация о задаче

Задача 54592

Темы:	[	Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек	]
Темы:	[	Четырехугольники (построения)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте четырёхугольник по диагоналям, углу между ними и двум каким-нибудь сторонам.

Подсказка

Пусть AB и CD — данные стороны, AC и BD — данные диагонали четырёхугольника ABCD. Достройте треугольники DAC и BAC до параллелограммов ADD₁C и ABB₁C.

Решение

Рассмотрим случай, когда даны две противоположные стороны. Предположим, что нужный четырёхугольник ABCD построен. Пусть AB = a и CD = b — данные стороны, AC = d₁, BD = d₂ -- данные диагонали, K — точка пресечения диагоналей, $\angle$ BKC = $\alpha$ — данный угол.

Достроим треугольники DAC и BAC до параллелограммов ADD₁C и ABB₁C. Тогда BB₁D₁D — также параллелограмм со сторонами

B₁D₁ = BD = d₂, BB₁ = DD₁ = AC = d₁

и углом $\alpha$ между сторонами DD₁ и DB. При этом точка C удалена от вершин D и B₁ на расстояния b и a соответственно.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим параллелограмм BB₁D₁D по двум соседним сторонам DD₁ = d₁, DB = d₂ и углу $\angle$ BDD₁ = $\alpha$ . Пересечение окружностей с центрами в точках B₁ и D с радиусами a и b соответственно даёт вершину C. Через точки B и D проведём прямые, параллельные CB₁ и CD₁ соответственно. Пересечение этих прямых даёт искомую вершину A.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2487