Информация о задаче

Задача 54593

Темы:	[	Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек	]
	[	Четырехугольники (построения)	]
	[	Удвоение медианы	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте выпуклый четырёхугольник по четырём сторонам и отрезку, соединяющему середины двух противоположных сторон.

Подсказка

Пусть M и N середины противоположных сторон BC и AD четырёхугольника ABCD. Достройте треугольники ABM и DCM до параллелограммов ABMM₁ и DCMM₂.

Решение

Предположим, что четырёхугольник ABCD построен. Пусть M и N -- середины противоположных сторон BC и AD,

AB = a, BC = b, CD = c, AD = d, MN = m

-- данные отрезки. Достроим треугольники ABM и DCM до параллелограммов ABMM₁ и DCMM₂. Тогда

MM₁ = AB = a, MM₂ = CD = c.

Поскольку

AM₁ = BM = MC = DM₂, AN = ND, $\displaystyle \angle$ NAM₁ = $\displaystyle \angle$ NDM₂,

то треугольники AM₁N и DM₂N равны по двум сторонами и углу между ними. Поэтому M₁N = M₂N и $\angle$ ANM₁ = $\angle$ DNM₂. Следовательно, точки M₁, N и M₂ лежат на одной прямой и MN — медиана треугольника M₁MM₂.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим треугольник M₁MM₂ по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей. Пусть N — середина M₁M₂. На основаниях NM₁ и NM₂ строим треугольники M₁NA и M₂ND с боковыми сторонами, равными ${\frac{b}{2}}$ и ${\frac{d}{2}}$ , так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой M₁M₂. Через точки A, M и D проводим прямые, параллельные MM₁, AM₁ и MM₂ соответственно. Первая и третья из этих прямых пересекают вторую в искомых вершинах B и C.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2488