Задача 54599

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и сумме двух других сторон.

Решение

  Предположим, что треугольник ABC построен. Пусть  BC = a  – данная сторона,  ∠A = α  – данный угол,  AB + AC = d – данная сумма сторон.
  На продолжении стороны BA за точку A отложим отрезок AD, равный AC. Тогда  BD = d,  треугольник DAC – равнобедренный. Поэтому
∠BDC = ½ ∠BAC = ^α/₂.

  Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим отрезок BD, равный d. От луча DB откладываем угол, равный ^α/₂. С центром в точке B проводим окружность радиуса a. Точка пересечения этой окружности с проведённым ранее лучом (таких точек может быть две) есть искомая вершина C. Пересечение серединного перпендикуляра к отрезку DC с прямой BD даёт искомую вершину A.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2494