Информация о задаче

Задача 54605

Темы:	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
	[	Концентрические окружности	]
	[	Диаметр, основные свойства	]
	[	Признаки и свойства касательной	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите геометрическое место середин всех хорд данной окружности, равных данному отрезку.

Подсказка

Выразите расстояние от середины каждой такой хорды до центра данной окружности через радиус этой окружности и длину хорды.

Решение

Пусть AB = a — некоторая хорда окружности с центром O и радиусом R. Если P — проекция точки O на AB, то P — середина AB и

OP = $\displaystyle \sqrt{OA^{2}- \left(\frac{1}{2}AB\right)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{R^{2}- \frac{a^{2}}{4}}$ .

Следовательно, точка P находится на окружности с центром в точке O и радиусом, равным

$\displaystyle \sqrt{OA^{2}- \left(\frac{1}{2}AB\right)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{R^{2}- \frac{a^{2}}{4}}$ .

Обратно, любая точка M такой окружности есть середина некоторой хорды исходной окружности. Действительно, касательная к построенной окружности перпендикулярна радиусу, проходящему через точку M. Следовательно, точка M — середина отрезка CD этой касательной, заключённого внутри данной окружности. Поэтому

CD = 2 $\displaystyle \sqrt{OC^{2}- OM^{2}}$ = a.

Ответ

Окружность, концентрическая данной.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2500