Задача 54608

Темы:    [ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки впишите в данный угол окружность, проходящую через данную точку.

Подсказка

Впишите в данный угол произвольную окружность. Эта окружность гомотетична искомой при гомотетии с центром в вершине данного угла.

Решение

Предположим, что окружность с центром O вписана в данный угол AQB и проходит через точку M. Центр этой окружности находится на биссектрисе данного угла.

Рассмотрим произвольную окружность с центром O₁, отличным от O, вписанную в этот же угол. Пусть луч QM пересекает эту окружность в точках C и D. Поскольку эти окружности гомотетичны с центром гомотетии Q, то один из радиусов (например, O₁C) второй окружности параллелен радиусу OM первой окружности.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Впишем в угол произвольную окружность с центром O₁. Найдём точки пересечения C и D этой окружности с лучом QM, и через точку M проведём прямые, параллельные радиусам O₁C и O₁D. Точки пересечения этих прямых с биссектрисой данного угла есть центры искомых окружностей.

Если данная точка лежит внутри угла, то задача имеет два решения. Если точка лежит на стороне угла, то задача имеет единственное решение. В остальных случаях решений нет.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2503