Задача 54609

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Метод координат ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC и точка H на прямой AB . Докажите, что CH — высота треугольника ABC тогда и только тогда, когда AC2-BC2=AH2-BH2 .

Решение

Необходимость.}Пусть CH — высота треугольника ABC (рис.1). Если точка H совпадает с вершинами A или B , то утверждение очевидно. Пусть точка H не совпадает ни с A , ни с B . Тогда по теореме Пифагора из прямоугольных треугольников ACH и BCH находим, что

AC2-AH2=CH2, BC2-BH2=CH2,
поэтому AC2-AH2=BC2-BH2 . Следовательно, AC2-BC2=AH2-BH2 .
Достаточность.}
Пусть точка H на прямой AB и AC2-BC2=AH2-BH2 (рис.2). Выберем на плоскости прямоугольную систему координат следующим образом. Начало координат — точка A , ось абсцисс направлена по лучу AB , ось ординат перпендикулярна AB . Выпишем координаты точек: A(0;0) , B(c;0) , C(p;q) , H(x;0) . Тогда
AC2=p2+q2, BC2=(p-c)2+q2, AH2=x2, BH2=(c-x)2.
По условию
p2+q2-(p-c)2-q2=x2-(c-x)2,
откуда x=p , т.е. прямая CH перпендикулярна оси Oy . Следовательно, CH — высота треугольника ABC .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2504