Задача 54634

Темы:    [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точка O лежит на отрезке AC. Найдите геометрическое место точек M, для которых  ∠MOC = 2∠MAC.

Подсказка

Воспользуйтесь теоремой о внешнем угле треугольника.

Решение

  Если точка M из искомого геометрического места точек не лежит на прямой AO, то из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что треугольник AOM – равнобедренный  (MO = OA).  Поэтому точка M лежит на окружности с центром O и радиусом OA.
  Обратно, для любой точки  M ≠ A,  лежащей на окружности с центром O и радиусом OA  ∠MOC = 2∠MAC.
  Если точка M, отличная от O, лежит на луче OC, то  ∠MOC = 2∠MAC = 0.

Ответ

Объединение окружности с центром O радиуса OA (без точки A) и луча OC (без точки O).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2531