Задача 54638

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Перенос помогает решить задачу ] [ Удвоение медианы ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Дан отрезок AB. Найдите на плоскости множество таких точек C, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, равна высоте, проведённой из вершины B.

Решение

Пусть точка C удовлетворяет условию задачи, AD — медиана треугольника ABC, BF — высота, AD = BF. На продолжении отрезка AD за точку D отложим отрезок DE, равный AD. Тогда четырёхугольник ABEC — параллелограмм.

Предположим, что угол AEB острый. Пусть K — проекция точки A на прямую BE. Тогда

= = .

Поэтому AEB = 30^o. Если угол AEB тупой, то аналогично получим, что AEB = 150^o. Следовательно, все такие точки E находятся на двух равных окружностях S₁ и S₂, которые общей хордой AB делятся на дуги в 300^o и 60^o. Тогда все точки C находятся на окружностях S₁' и S₂', полученных из S₁ и S₂ параллельным переносом на вектор .

Докажем теперь, что любая точка M окружностей S₁' и S₂', кроме точек их пересечения, удовлетворяет условию.

Пусть M — произвольная точка одной из этих окружностей, отличная от их точки пересечения. При параллельном переносе на вектор точка M переходит в некоторую точку N одной из окружностей S₁ или S₂. Если AD — медиана треугольника ABM, BF — его высота, K — проекция точки A на прямую NB, а ANB = 30^o, то

BF = AK = AN = AD,

т.е. точка M удовлетворяет условию. Аналогично для второго случая ( ANB = 150^o).

Итак, все точки окружностей S₁' и S₂', кроме концов их общей хорды, удовлетворяют условию.

Ответ

Две равные пересекающиеся окружности без точек их пересечения.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2535
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1970
выпуск
Номер	1
Задача
Номер	М4
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	32
Год	1969
вариант
Класс	8
Тур	1
задача
Номер	4