ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54638
Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
[ Удвоение медианы ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан отрезок AB. Найдите на плоскости множество таких точек C, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, равна высоте, проведённой из вершины B.


Решение

Пусть точка C удовлетворяет условию задачи, AD — медиана треугольника ABC, BF — высота, AD = BF. На продолжении отрезка AD за точку D отложим отрезок DE, равный AD. Тогда четырёхугольник ABEC — параллелограмм.

Предположим, что угол AEB острый. Пусть K — проекция точки A на прямую BE. Тогда

$\displaystyle {\frac{AK}{AE}}$ = $\displaystyle {\frac{BF}{2AD}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$.

Поэтому $ \angle$AEB = 30o. Если угол AEB тупой, то аналогично получим, что $ \angle$AEB = 150o. Следовательно, все такие точки E находятся на двух равных окружностях S1 и S2, которые общей хордой AB делятся на дуги в 300o и 60o. Тогда все точки C находятся на окружностях S1' и S2', полученных из S1 и S2 параллельным переносом на вектор $ \overrightarrow{BA}$.

Докажем теперь, что любая точка M окружностей S1' и S2', кроме точек их пересечения, удовлетворяет условию.

Пусть M — произвольная точка одной из этих окружностей, отличная от их точки пересечения. При параллельном переносе на вектор $ \overrightarrow{AB}$ точка M переходит в некоторую точку N одной из окружностей S1 или S2. Если AD — медиана треугольника ABM, BF — его высота, K — проекция точки A на прямую NB, а $ \angle$ANB = 30o, то

BF = AK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AN = AD,

т.е. точка M удовлетворяет условию. Аналогично для второго случая ( $ \angle$ANB = 150o).

Итак, все точки окружностей S1' и S2', кроме концов их общей хорды, удовлетворяют условию.


Ответ

Две равные пересекающиеся окружности без точек их пересечения.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2535
журнал
Название "Квант"
год
Год 1970
выпуск
Номер 1
Задача
Номер М4
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 32
Год 1969
вариант
Класс 8
Тур 1
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .