ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54639
Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Чичин В.

Постройте треугольник по двум сторонам так, чтобы медиана, проведённая к третьей стороне, делила угол треугольника в отношении  1 : 2.


Подсказка

Рассмотрите образ одной из вершин треугольника при симметрии относительно указанной медианы (или примените теорему синусов).


Решение

  Первый способ. Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть  BC = a  и  AC = b  – его данные стороны, CM – медиана,  ∠ACM = α,
BCM = 2α.  Если E – точка, симметричная вершине B относительно прямой CM, то  CE = CB = a,  ∠ECM = ∠BCM = 2α,  ∠ECA = α.  Поскольку
ME = MB = MA,  то  ∠AEB = 90°.  Поэтому  AE || EC,  ∠EAC = ∠MCA = α.  Следовательно, треугольник AEC равнобедренный, то есть  AE = EC = a.
  Отсюда вытекает следующее построение. Строим равнобедренный треугольник ACE по трём сторонам. Через вершину C проводим прямую, параллельную AE. Образ точки E при симметрии относительно этой прямой есть искомая вершина B.

  Второй способ. Применив теорему синусов к треугольникам BCM и ACM, находим, что  a sin 2α = b sin α.  Поэтому  cos α = b/2a.  Следовательно, угол α можно построить.

   Поскольку  0 < 3α < 180°,  то  0 < α < 60°.  Поэтому задача имеет решение (и притом единственное) при  a < b.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2536
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1989/1990
Номер 11
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .