Задача 54642

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На плоскости заданы две пересекающиеся прямые, и на них отмечено по одной точке (D и E). Постройте треугольник ABC, у которого биссектрисы CD и AE лежат на данных прямых, а основания этих биссектрис— данные точки D и E.

Подсказка

Рссмотрите образы точек D и E при симметричии относительно данных прямых.

Решение

Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть AE и CD — его биссектрисы. Тогда образ E₁ точки E при симметрии относительно прямой CD и образ D₁ точки D при симметрии относительно прямой AE лежат на прямой AC.

Отсюда вытекает следующее построение. Строим образы E₁ и D₁ данных точек E и D при симметрии относительно данных прямых OD и OE (O — точка пересечения данных прямых). Пусть прямая E₁D₁ пересекает данные прямые в точках C и A (если точки E₁ и D₁ совпадают, то проводим через E₁ произвольную прямую, пересекающую прямые OD и OE).

Если прямые AD и CE пересекаются, то их точка пересечения есть вершина B искомого треугольника. Если прямая E₁D₁ параллельна одной из данных прямых или AD || CE, то задача не имеет решений. Пусть это не так. В этом случае прямые AE и CD могут оказаться биссектрисами не внутренних, а внешних углов треугольника ABC.

Поскольку DOE = 90^o + B, то задача разрешима только при = DOE > 90^o. Но и это условие не является достаточным для существования решения. Нужно потребовать, чтобы существовали точки A и C, а также чтобы точки D, O и E лежали по одну сторону от прямой AC. Можно доказать, что задача разрешима тогда и только тогда, когда

-2 cos < < - cos A

при 120^o (в этом случае решение единственно) или когда

DO = EO,  = 120^o

(в этом случае точки D₁ и E₁ совпадают, и решений бесконечно много).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2539