|
|
 |
Условие
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если на плоскости
отмечены три точки: O — центр описанной окружности, P — точка
пересечения медиан и H — основание одной из высот этого треугольника.
Решение
Предположим, что нужный треугольник ABC построен (рис.1),
BH — его высота, Q — точка
пересечения высот. Тогда точки O , P и Q лежат на одной прямой
(прямая Эйлера треугольника ABC ), точка P — между O и Q ,
PQ = 2OP .
Отсюда вытекает следующее построение. На продолжении отрезка
OP за точку P откладываем отрезок PQ , вдвое больший данного
отрезка OP . Через данную точку H проводим прямую, перпендикулярную QH .
Пусть M — проекция точки O на эту прямую. Точка B пересечения
прямых MP и QH — вершина искомого треугольника.
С центром в точке O строим окружность радиуса OB .
Эта окружность пересекает прямую HM в вершинах A и C искомого
треугольника.
Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть M —
середина стороны AC . Рассмотрим треугольник AB1C , симметричный
треугольнику ABC относительно прямой OM (рис.2). Поскольку
окружность симметрична относительно любого своего диаметра, точка
B1 лежит на описанной окружности треугольника ABC .
Если N — точка пересечения медианы BM и отрезка HB1 , то
=
= 2 ,
поэтому точка N совпадает с точкой P пересечения медиан
треугольника ABC . Кроме того, поскольку
HBB1 = 90o ,
точка B лежит на окружности с диаметром HB1 .
Отсюда вытекает следующее построение. На продолжении отрезка
HP за точку P отложим отрезок PB1 , вдвое больший отрезка HP . С
центром в точке O построим окружность радиуса OB1 (рис.3).
Построим вторую окружность на отрезке B1H как на диаметре. Точка
пересечения этих окружностей, отличная от B1 , есть вершина B
искомого треугольника.
Вершины A и C — это точки пересечения первой из построенных
окружностей с прямой, проходящей через точку H параллельно BB1 .
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2540 |
