Задача 54643
|
|
 |
Условие
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если на плоскости отмечены три точки: O — центр описанной окружности, P — точка пересечения медиан и H — основание одной из высот этого треугольника.Решение
Предположим, что нужный треугольник ABC построен (рис.1), BH — его высота, Q — точка пересечения высот. Тогда точки O , P и Q лежат на одной прямой (прямая Эйлера треугольника ABC ), точка P — между O и Q , PQ = 2OP .
Отсюда вытекает следующее построение. На продолжении отрезка OP за точку P откладываем отрезок PQ , вдвое больший данного отрезка OP . Через данную точку H проводим прямую, перпендикулярную QH . Пусть M — проекция точки O на эту прямую. Точка B пересечения прямых MP и QH — вершина искомого треугольника.
С центром в точке O строим окружность радиуса OB . Эта окружность пересекает прямую HM в вершинах A и C искомого треугольника.
Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть M — середина стороны AC . Рассмотрим треугольник AB1C , симметричный треугольнику ABC относительно прямой OM (рис.2). Поскольку окружность симметрична относительно любого своего диаметра, точка B1 лежит на описанной окружности треугольника ABC . Если N — точка пересечения медианы BM и отрезка HB1 , то
Отсюда вытекает следующее построение. На продолжении отрезка HP за точку P отложим отрезок PB1 , вдвое больший отрезка HP . С центром в точке O построим окружность радиуса OB1 (рис.3). Построим вторую окружность на отрезке B1H как на диаметре. Точка пересечения этих окружностей, отличная от B1 , есть вершина B искомого треугольника.
Вершины A и C — это точки пересечения первой из построенных окружностей с прямой, проходящей через точку H параллельно BB1 .
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2540 |
