ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54645
Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник ABC, если заданы его наименьший угол при вершине A и отрезки  d = AB – BC  и  e = AC – BC.


Подсказка

Примените гомотетию.


Решение

  Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Отложим на лучах CA и BA соответственно отрезки CB1 и BC1, равные отрезку BC. Тогда  AB1 = AC – CB1 = AC – CB = e,
AC
1 = AB – BC1 = AB – BC = d.
  Поскольку треугольник AB1C1 можно построить (по двум сторонам и углу между ними), задача сводится к построению на продолжениях сторон AC1 и AB1 соответственно таких точек B и C, что  B1C = C1B = BC  (рис. слева).
  На продолжении отрезка AB1 за точку B1 отложим произвольный отрезок B1B2 (рис. справа); через точку B1 проведём прямую, параллельную стороне AC1, и отложим на ней отрезок
B1K = B1B2  так, чтобы точки K и C1 лежали по одну сторону от прямой AB1. Через точку K проведём прямую, параллельную B1C1, до пересечения с лучом AC1 в точке L. С центром в точке B2 проведём окружность радиуса B2B1. Пусть N – точка пересечения этой окружности с лучом KL. Если прямая, проходящая через точку N параллельно B1K, пересекает луч B1C1 в точке M, то
MN = B1K = B1B2.
  При гомотетии с центром в точке B1 и коэффициентом  B1C1/B1M  точки N и B2 перейдут в искомые вершины B и C соответственно (B – точка пересечения луча B1N с лучом AC1).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2542

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .