Задача 54655

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Точки K и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причём  AK = BK  и  AN = 2NC.
В каком отношении отрезок KN делит медиану AM треугольника ABC?

Решение

  Пусть прямые AM и KN пересекаются в точке P.

  Первый способ. Отрезок KM – средняя линия треугольника ABC, поэтому  KM || AC  и  KM = ½ AC = ¾ AN.
  Из подобия треугольников PAN и PMK находим, что   AP : PN = AN : KM = 4 : 3.

  Второй способ. Обозначим  S = S_ABC,  k = ^AP/_AM.  Тогда  S_ABM = S_ACM = ^S/₂,  S_AKN = ¹/₂·²/₃ S = ^S/₃,  S_AKP = ^k/₂·^S/₂ = ^kS/₄,  S_ANP = ^2k/₃·^S/₂ = ^kS/₃.
  Поскольку  S_AKN = S_AKP + S_ANP,  то  ^S/₃ = ^kS/₄ + ^kS/₃,  откуда  k = ⁴/₇.

Ответ

4 : 3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2601