Задача 54669

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Окружность радиуса R, построенная на большем основании AD трапеции ABCD как на диаметре, касается меньшего основания BC в точке C, а боковой стороны AB — в точке A. Найдите диагонали трапеции.

Подсказка

Докажите, что трапеция прямоугольная и воспользуйтесь теоремой Пифагора.

Решение

Пусть O — середина AD. Тогда O — центр указанной окружности. Поскольку BC и BA — касательнаые к окружности, то OC BC и AB AD. Поэтому трапеция ABCD — прямоугольная и AB = OC = AO = BC = R. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников ABC и ABD находим, что

AC² = AB² + BC² = 2R², BD² = AB² + AD² = 5R².

Следовательно, AC = R и BD = R.

Ответ

R, R.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2615