|
|
 |
Условие
Дан треугольник со сторонами a, b и c. Прямая, параллельная стороне, равной a, касается вписанной окружности треугольника и пересекает две другие стороны в точках M и N. Найдите MN.
Подсказка
Пусть точки M и N лежат на сторонах AB и AC треугольника ABC, а вписанная в треугольник ABC окружность касается стороны AB в точке K. Тогда отрезок AK равен полупериметру треугольника AMN и, в то же время, – разности между полупериметром треугольника ABC и стороной BC.
Решение
Пусть точки M и N лежат на сторонах AB и AC треугольника ABC и при этом BC = a, AB = c, AC = b, а вписанная в треугольник ABC окружность касается стороны AB в точке K. Тогда AK = ½ (b + c – a).
С другой стороны, отрезок AK равен полупериметру треугольника AMN.
Поскольку MN || BC, то треугольник AMN подобен треугольнику ABC, причём коэффициент подобия равен отношению периметров этих треугольников, то есть . Следовательно,
MN = BC·
=
.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2624 |
