Задача 54684

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, причём  AM = AC.
Докажите, что продолжения высот AA₁ и DD₁ треугольников CAM и BDM пересекаются на окружности.

Подсказка

Биссектриса вписанного угла, опирающегося на некоторую дугу, делит эту дугу пополам.

Решение

Треугольники CAM и BDM подобны по двум углам. По условию один из них равнобедренный, значит, второй также равнобедренный. Высоты равнобедренных треугольников, проведённые к основанию, являются биссектрисами углов при вершинах, то есть лучи AA₁ и BB₁ – биссектрисы равных вписанных углов BAC и BDC. Каждая из этих биссектрис делит дугу BC пополам, следовательно, обе они проходят через середину дуги BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2630