Информация о задаче

Задача 54697

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Одна из сторон треугольника вдвое больше другой, а угол между этими сторонами равен 60^o. Докажите, что треугольник — прямоугольный.

Подсказка

Воспользуйтесь теоремой косинусов.

Решение

Первый способ.

Пусть указанные стороны равны a и 2a. Тогда по теореме косинусов квадрат третьей стороны равен

a² + 4a² - 2a^.2a^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = 3a².

Пусть $\alpha$ — угол данного треугольника, лежащий против стороны, равной 2a. Тогда по теореме косинусов

cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{a^{2} + 3a^{2} - 4a^{2}}{2a\cdot a\sqrt{3}}}$ = 0.

Следовательно, $\alpha$ = 90^o.

Второй способ.

Пусть угол между сторонами BC = a и AB = 2a треугольника ABC равен 60^o. Опустим перпендикуляр AC₁ из вершины A на прямую BC. Из прямоугольного треугольника ABC₁ с углом 30^o при вершине A находим, что

BC₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB = BC.

Значит, точка C₁ совпадает с точкой C. Следовательно, $\angle$ ACB = 90^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2643