Задача 54699

Темы:    [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Одна из сторон параллелограмма равна 10, а диагонали равны 20 и 24. Найдите косинус острого угла между диагоналями.

Подсказка

Пусть диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Тогда треугольник ABO — равнобедренный.

Решение

Пусть диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, причём AC = 20, BD = 24, AB = CD = 10. Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то AO = 10, BO = 12. Значит, треугольник ABO — равноберенный. Пусть AH — его высота. Тогда OH = BO = 6. Из прямоугольного треугольника AOH находим, что

cosAOB = = = .

Пусть диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, причём AC = 20, BD = 24, AB = CD = 10. Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то AO = 10, BO = 12. Значит, треугольник ABO — равноберенный. Пусть AH — его высота. Тогда OH = BO = 6. Из прямоугольного треугольника AOH находим, что

cosAOB = = = .

Пусть диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, причём AC = 20, BD = 24, AB = CD = 10. Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то AO = 10, BO = 12. Значит, треугольник ABO — равноберенный. Пусть AH — его высота. Тогда OH = BO = 6. Из прямоугольного треугольника AOH находим, что

cosAOB = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2645