Информация о задаче

Задача 54706

Темы:	[	Удвоение медианы	]
Темы:	[	Теорема о сумме квадратов диагоналей	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана, проведённая к третьей, равна 10. Найдите третью сторону.

Подсказка

Воспользуйтесь теоремой о сумме квадратов диагоналей параллелограмма или формулой для медианы треугольника.

Решение

Первый способ.

Пусть CM — медиана треугольника ABC, в котором AC = 11, BC = 23, CM = 10. Тогда

CM² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2AC² + 2BC² - AB²), или 100 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2^.121 + 2^.529 - AB²).

Отсюда находим, что AB² = 900.

Второй способ.

Пусть CM — медиана треугольника ABC, в котором AC = 11, BC = 23, CM = 10. На продолжении медианы CM за точку M отложим отрезок MD, равный CM. Тогда ACBD — параллелограмм, CD = 20, DB = 11. Найдём cos $\angle$ CDB из треугольника CDB, а затем — отрезок AM. из треугольника ACM ( $\angle$ ACM = $\angle$ CDB).

Ответ

30.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2652