ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54707
Темы:    [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите косинусы углов трапеции с основаниями 3 и 7 и боковыми сторонами 2 и 5.


Подсказка

Через вершину C меньшего основания BC трапеции ABCD проведите прямую, параллельную боковой стороне AB, и примените теорему косинусов к полученному треугольнику.


Решение

Пусть прямая, проходящая через вершину C меньшего основания BC = 3 трапеции ABCD параллельно боковой стороне AB = 5, пересекает большее основание AD = 7 в точке K. Тогда

KD = AD - AK = AD - BC = 7 - 3 = 4, CK = AB = 5.

Из треугольника CKD по теореме косинусов находим, что

cos$\displaystyle \angle$CDK = $\displaystyle {\frac{4^{2} + 2^{2} - 5^{2}}{16}}$ = - $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{16}}$,

cos$\displaystyle \angle$CKD = $\displaystyle {\frac{5^{2} + 4^{2} - 2^{2}}{40}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{37}{40}}$.

Тогда

cos$\displaystyle \angle$BCD = cos(180o - $\displaystyle \angle$CDA) = - cos$\displaystyle \angle$CDA = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{16}}$,

cos$\displaystyle \angle$BAD = cos$\displaystyle \angle$CKD = $\displaystyle {\textstyle\frac{37}{40}}$,

cos$\displaystyle \angle$ABC = cos(180o - $\displaystyle \angle$BAD) = - cos$\displaystyle \angle$BAD = - $\displaystyle {\textstyle\frac{37}{40}}$.


Ответ

±$ {\frac{37}{40}}$, ±$ {\frac{5}{16}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2653

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .