Информация о задаче

Задача 54707

Темы:	[	Перенос стороны, диагонали и т.п.	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите косинусы углов трапеции с основаниями 3 и 7 и боковыми сторонами 2 и 5.

Подсказка

Через вершину C меньшего основания BC трапеции ABCD проведите прямую, параллельную боковой стороне AB, и примените теорему косинусов к полученному треугольнику.

Решение

Пусть прямая, проходящая через вершину C меньшего основания BC = 3 трапеции ABCD параллельно боковой стороне AB = 5, пересекает большее основание AD = 7 в точке K. Тогда

KD = AD - AK = AD - BC = 7 - 3 = 4, CK = AB = 5.

Из треугольника CKD по теореме косинусов находим, что

cos $\displaystyle \angle$ CDK = $\displaystyle {\frac{4^{2} + 2^{2} - 5^{2}}{16}}$ = - $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{16}}$ ,

cos $\displaystyle \angle$ CKD = $\displaystyle {\frac{5^{2} + 4^{2} - 2^{2}}{40}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{37}{40}}$ .

Тогда

cos $\displaystyle \angle$ BCD = cos(180^o - $\displaystyle \angle$ CDA) = - cos $\displaystyle \angle$ CDA = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{16}}$ ,

cos $\displaystyle \angle$ BAD = cos $\displaystyle \angle$ CKD = $\displaystyle {\textstyle\frac{37}{40}}$ ,

cos $\displaystyle \angle$ ABC = cos(180^o - $\displaystyle \angle$ BAD) = - cos $\displaystyle \angle$ BAD = - $\displaystyle {\textstyle\frac{37}{40}}$ .

Ответ

± ${\frac{37}{40}}$ , ± ${\frac{5}{16}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2653