Задача 54710

Темы:    [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AB в точке M, при этом AM = 1, BM = 4. Найдите CM, если известно, что BAC = 120^o.

Подсказка

Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке K. Обозначьте CK = x и с помощью теоремы косинусов составьте уравнение относительно x.

Решение

Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AC и BC в точках K и N соответственно. Обозначим CK = x. Тогда

CN = CK = x, AK = AM = 1, BN = BM = 4, AC = x + 1, BC = x + 4.

По теореме косинусов

BC² = AB² + AC² - 2AB ^. AC cos 120^o, или (x + 4)² = 25 + (x + 1)² + 5(x + 1).

Из этого уравнения находим, что x = 15.

По теореме косинусов из треугольника ACM находим, что

CM² = AC² + AM² - 2AC ^. AM cos 120^o = 16² + 1 + 16 = 273.

Следовательно, CM = $\sqrt{273}$.

Ответ

$\sqrt{273}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2656