Информация о задаче

Задача 54714

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка M лежит на стороне BC параллелограмма ABCD с углом 45^o при вершине A, причём $\angle$ AMD = 90^o и BM : MC = 2 : 3. Найдите отношение соседних сторон параллелограмма.

Подсказка

Примените теорему косинусов и теорему Пифагора.

Решение

Обозначим BM = 2x, CM = 3x, AB = CD = y. Из треугольников ABM и CDM по теореме косинусов находим, что

AM² = 4x² + y² + 2xy $\displaystyle \sqrt{2}$ , DM² = 9x² + y² - 3xy $\displaystyle \sqrt{2}$ .

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AMD находим, что

AM² + MD² = AD², или 4x² + y² + 2xy $\displaystyle \sqrt{2}$ ) + (9x² + y² - 3xy $\displaystyle \sqrt{2}$ ) = 25x², или

12x² + xy $\displaystyle \sqrt{2}$ - 2y² = 0,

откуда ${\frac{y}{x}}$ = 2 $\sqrt{2}$ . Следовательно,

$\displaystyle {\frac{AB}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{y}{5x}}$ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{2}}{5}}$ .

Ответ

2 $\sqrt{2}$ : 5.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2660