Информация о задаче

Задача 54715

Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, касается гипотенузы в точке M. Найдите расстояние от точки M до вершины прямого угла.

Подсказка

Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AB в точке M. Тогда AM = p - BC, где p — полупериметр треугольника ABC.

Решение

Пусть окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC, касается гипотенузы AB в точке M. Если AC = 6 и BC = 8, то

AB = $\displaystyle \sqrt{AC^{2} + BC^{2}}$ = 10, cos $\displaystyle \angle$ A = $\displaystyle {\frac{AC}{AB}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ .

Пусть p — полупериметр треугольника ABC. Тогда

AM = p - BC = 12 - 8 = 4.

По теореме косинусов из треугольника AMC находим, что

CM² = AC² + AM² - 2AC^.AM cos $\displaystyle \angle$ A = 36 + 16 - 2^.6^.4^. $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{116}{5}}$ .

Следовательно,

CM = $\displaystyle \sqrt{\frac{116}{5}}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{\frac{29}{5}}$ .

Ответ

2 $\sqrt{\frac{29}{5}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2661