ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54724
Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна a, средняя линия равна b, а один углов при большем основании равен 30o. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.


Подсказка

Проекция диагонали равнобедренной трапеции на большее основание равна средней линии трапеции.


Решение

Пусть F — проекция вершины C меньшего основания BC равнобедренной трапеции ABCD на большее основание AD. Тогда отрезок AF равен средней линии трапеции, а т.к. в прямоугольном треугольнике CFD угол D равен 30o, то CF = $ {\frac{1}{2}}$CD. Из прямоугольного треугольника ACF находим, что

AC = $\displaystyle \sqrt{AF^{2} + CF^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{b^{2} + \frac{a^{2}}{4}}$.

Если R — радиус окружности, описанной около треугольника ACD, то

R = $\displaystyle {\frac{AC}{2 \sin \angle D}}$ = $\displaystyle \sqrt{b^{2} + \frac{a^{2}}{4}}$.

Осталось заметить, что окружность, описанная около треугольника ACD, совпадает с окружностью, описанной около трапеции ABCD.


Ответ

$ \sqrt{b^{2} + \frac{a^{2}}{4}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2670

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .