Информация о задаче

Задача 54725

Темы:	[	Удвоение медианы	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Медиана AM треугольника ABC равна m и образует со сторонами AB и AC углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Найдите эти стороны.

Подсказка

На продолжении медианы AM за точку M отложите отрезок MK, равный AM, и примените теорему синусов к треугольнику ACK.

Решение

На продолжении медианы AM за точку M отложим отрезок MK, равный AM. Тогда четырёхугольник ABKC — параллелограмм, поэтому $\angle$ AKC = $\angle$ BAM = $\alpha$ . По теореме синусов из треугольника ACK находим, что

$\displaystyle {\frac{CK}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{AK}{\sin (180^{\circ }- \alpha -\beta)}}$ ,

откуда

AB = CK = $\displaystyle {\frac{AK\sin \beta}{\sin (\alpha +\beta)}}$ = $\displaystyle {\frac{2m\sin \beta}{\sin (\alpha +\beta)}}$ .

Аналогично находим, что

AC = $\displaystyle {\frac{AK\sin \alpha}{\sin (\alpha +\beta)}}$ = $\displaystyle {\frac{2m\sin \alpha}{\sin (\alpha +\beta)}}$ .

Ответ

${\frac{2m\sin \beta}{\sin (\alpha +\beta)}}$ , ${\frac{2m\sin \alpha}{\sin (\alpha +\beta)}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2671