Информация о задаче

Задача 54728

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Перенос стороны, диагонали и т.п.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Одна из боковых сторон трапеции образует с большим основанием угол $\alpha$ , а вторая равна a и образует с меньшим основанием угол $\beta$ ( $\beta$ > $\alpha$ ). Найдите среднюю линию трапеции, если меньшее основание равно b.

Подсказка

Через вершину меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную противоположной боковой стороне.

Решение

Пусть BC — меньшее основание трапеции ABCD, в которой $\angle$ BAD = $\alpha$ , $\angle$ BCD = $\beta$ , BC = b и CD = a. Через вершину C проведём прямую, параллельную боковой стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке K. Тогда

$\displaystyle \angle$ BCK = $\displaystyle \angle$ BAD = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ DCK = $\displaystyle \angle$ BCD - $\displaystyle \angle$ BCK = $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \alpha$ .

По теореме синусов из треугольника DCK находим, что

DK = $\displaystyle {\frac{CD\sin \angle DCK}{\sin \angle DKC}}$ = $\displaystyle {\frac{a\sin (\beta -\alpha)}{\sin \alpha}}$ ,

следовательно, средняя линия трапеции ABCD равна

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (BC + AD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (BC + AK + KD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (2BC + KD) =

= BC + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ KD = b + $\displaystyle {\frac{a\sin (\beta -\alpha)}{2\sin \alpha}}$ .

Ответ

b + ${\frac{a\sin (\beta -\alpha)}{2\sin \alpha}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2674