Задача 54770

Тема:    [ Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Даны точки A и B. Для каждой точки M, не совпадающей с точкой B и лежащей на прямой AB, рассмотрим отношение  AM : BM.
Где расположены точки, для которых это отношение
 а) больше 2,   б) меньше 2?

Решение

  Пусть точка M₁ лежит на отрезке AB, причём  AM₁ : M₁B = 2.  Если M – призвольная точка, лежащая между M₁ и B, или M совпадает с B, то
AM > AM₁ > 2M₁B > 2MB.
  Пусть точка M₂ лежит на продолжении отрезка AB за точку B, причём B – середина отрезка AM₂. Если M – произвольная точка, лежащая между B и M₂, то
AB > BM,  поэтому  AM = AB + BM > 2BM.
  Если точка M лежит на отрезке AM₁ (но не совпадает с M₁), то  AM < AM₁ = 2M₁B < 2BM.
  Если точка M лежит на продолжении отрезка AB за точку A, то  AM < BM < 2BM.
  Если точка M лежит на продолжении отрезка M₁M₂ за точку M₂, то  AM = AB + BM < 2BM.

Ответ

Пусть M₁ и M₂ – точки, в которых указанное отношение равно 2.
а) Все отличные от B точки между M₁ и M₂;
б) все точки прямой, не лежащие на отрезке M₁M₂.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2716