Задача 54780

Темы:    [ Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы. ] [ Биссектриса угла ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Из точки O на плоскости выходят 4 луча, следующие друг за другом по часовой стрелке: OA, OB, OC и OD. Известно, что сумма углов AOB и COD равна 180°. Докажите, что биссектрисы углов AOC и BOD перпендикулярны.

Решение

Положим  ∠AOB = 2α,  ∠BOC = 2β,  ∠COD = 2γ.  По условию  2α + 2γ = 180°.  Пусть K и M – точки на биссектрисах углов AOC и BOD соответственно. Тогда  ∠KOC = α + β,  ∠BOM = β + γ.  Следовательно,  ∠KOM = ∠KOC + ∠BOM – ∠BOC = (α + β) + (β + γ) – 2β = α + γ = 90°.

Замечания

Утверждение остаётся верным и при других расположениях лучей. Нужно лишь требовать, чтобы оба угла AOB и COD отсчитывались в одном направлении (например, по часовой стрелке). Доказательство аналогично.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2726