Задача 54783

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9 Название задачи: Теорема Пифагора.

Условие

Докажите, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

Решение

Первый способ.

Пусть CH — высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины C прямого угла. Тогда

AC² = AH ^. AB, BC² = BH ^. AB.

Следовательно,

AC² + BC² = AH ^. AB + BH ^. AB = (AH + BH)AB = AB ^. AB = AB²,

что и требовалось доказать.

Второй способ.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c. Построим на катетах и гипотенузе как на сторонах три квадрата (рис.1). Их площади равны соответственно a², b² и c². Докажем, что сумма площадей двух меньших квадратов равна площади большего. Для этого рассмотрим два квадрата со стороной, равной a + b. Один из них разбивается на четыре прямоугольных треугольника (с катетами a, b и гипотенузой c) и квадрат со стороной c (рис.2), а второй — на четыре таких же прямоугольных треугольника и два квадрата со сторонами a и b (рис.2). Значит, сумма площадей двух последних квадратов равна площади квадрата со стороной c. Следовательно,

a² + b² = c².

Третий способ.

Пусть катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно a, b и c, площадь равна S, а радиус вписанной окружности равен r. Тогда

r = (a + b - c), S = (a + b + c)r, S = ab,

поэтому

(a + b + c)(a + b - c) = 2ab, (a + b)² - c² = 2ab,

откуда получаем, что

a² + b² = c².

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2729