Задача 54788

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Высота, биссектриса и медиана, выходящие из одной вершины треугольника, соответственно равны , 2 и .
Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Подсказка

Пусть AA₁, AA₂ и AA₃ – соответственно высота, медиана и биссектриса треугольника ABC, O – центр описанной окружности. Тогда  ∠AA₂A₁ = 60°,
∠AA₃A₁ = 45°,  а треугольники OAA₃ и A₂A₃A равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Решение

  Пусть AA₁, AA₂ и AA₃ – соответственно высота, медиана и биссектриса треугольника ABC, R – радиус окружности, описанной около треугольника ABC. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников AA₁A₂ и AA₁A₃ находим, что  A₁A₂ = 1  и   A₁A₃ = ,  поэтому  ∠AA₂A₁ = 60°,
∠AA₃A₁ = ∠A₁AA₃ = 45°.
  Поскольку  AA₂A₁ – внешний угол треугольника AA₃A₂, то  ∠A₂AA₃ = ∠AA₂A₁ – ∠AA₃A₂ = 60° – 45° = 15°.
  Пусть продолжение биссектрисы AA₂ пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке D. Тогда D – середина дуги BC, поэтому радиус OD проходит через середину хорды BC и перпендикулярен ей. Значит,  OD || AA₁,  ∠ODA = ∠DAA₁ = 30°,  ∠OAA₂ = ∠OAD = ∠ODA = 30°,
∠OAA₃ = ∠OAD – ∠A₂AA₃ = 15°.
  Поэтому треугольники OAA₃ и A₂A₃A равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно,  R = OA = AA₂ = 2.

Ответ

2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2734