ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54791
Тема:    [ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В вершине A единичного квадрата ABCD сидит муравей. Ему надо добраться до точки C, где находится вход в муравейник. Точки A и C разделяет вертикальная стена, имеющая вид равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой BD. Найдите длину кратчайшего пути, который надо преодолеть муравью, чтобы попасть в муравейник.


Решение

Пусть K — вершина прямого угла треугольника BKD (вертикальной стены). Путь муравья состоит из четырёх отрезков: AM, MP, PM и MC, где точка M лежит на прямой BD, а точка P — на отрезке DK или BK. Ясно, что AM = MC, поэтому достаточно указать точки M и P, для которых путь AMP будет минимальным.

Положим стену так, чтобы вершина K совместилась с C. Тогда точка P совместится с некоторой точкой P1 отрезка CD (или BC), и

AM + MP = AM + KP1 $\displaystyle \geqslant$ AP1 $\displaystyle \geqslant$ AD,

причём это неравенство обращается в равенство только в случае совпадения точек P1 и D. Следовательно, минимальный путь муравья проходит по сторонам AD и CD (или AB и BC). Длина этого пути равна 2.

Второй способ.

Пусть K — вершина прямого угла треугольника BKD (вертикальной стены). Пусть на своем пути муравей пересекает катет BK. Будем считать, что треугольник BAD представляет собой бумажную складку: линиями сгиба являются BD (дважды) и BK (см.рис.). Развернув эту складку, получим, что путь муравья будет иметь вид отрезка прямой. Таким образом, длина кратчайшего пути равна 2 и кратчайшим является путь по сторонам квадрата в обход препятствия.


Ответ

2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2737

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .