Задача 54791

Тема:    [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В вершине A единичного квадрата ABCD сидит муравей. Ему надо добраться до точки C, где находится вход в муравейник. Точки A и C разделяет вертикальная стена, имеющая вид равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой BD. Найдите длину кратчайшего пути, который надо преодолеть муравью, чтобы попасть в муравейник.

Решение

Пусть K — вершина прямого угла треугольника BKD (вертикальной стены). Путь муравья состоит из четырёх отрезков: AM, MP, PM и MC, где точка M лежит на прямой BD, а точка P — на отрезке DK или BK. Ясно, что AM = MC, поэтому достаточно указать точки M и P, для которых путь AMP будет минимальным.

Положим стену так, чтобы вершина K совместилась с C. Тогда точка P совместится с некоторой точкой P₁ отрезка CD (или BC), и

AM + MP = AM + KP₁ AP₁ AD,

причём это неравенство обращается в равенство только в случае совпадения точек P₁ и D. Следовательно, минимальный путь муравья проходит по сторонам AD и CD (или AB и BC). Длина этого пути равна 2.

Второй способ.

Пусть K — вершина прямого угла треугольника BKD (вертикальной стены). Пусть на своем пути муравей пересекает катет BK. Будем считать, что треугольник BAD представляет собой бумажную складку: линиями сгиба являются BD (дважды) и BK (см.рис.). Развернув эту складку, получим, что путь муравья будет иметь вид отрезка прямой. Таким образом, длина кратчайшего пути равна 2 и кратчайшим является путь по сторонам квадрата в обход препятствия.

Ответ

2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2737