Информация о задаче

Задача 54792

Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На стороне треугольника взяты четыре точки K, P, H и M, являющиеся соответственно серединой этой стороны, основанием биссектрисы противоположного угла треугольника, точкой касания с этой стороной вписанной в треугольник окружности и основанием соответствующей высоты. Найдите KH, если KP = a, KM = b.

Решение

Пусть указанные точки лежат на стороне AB треугольника ABC, в котором AB = x, BC = y, AC = z, причём для определенности будем считать, что y > x. Тогда

BK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ x, BP = $\displaystyle {\frac{xy}{y+z}}$ , BH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (x + y - z),

BM = y cos $\displaystyle \angle$ B = $\displaystyle {\frac{y(x^{2} + y^{2} - z^{2})}{2xy}}$ = $\displaystyle {\frac{x^{2} + y^{2} - z^{2}}{2x}}$ .

Далее находим:

KP = BP - BK = $\displaystyle {\frac{x(y-z)}{2(y+z)}}$ , KH = BH - BK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (y - z),

KM = BM - BK = $\displaystyle {\frac{y^{2} - z^{2}}{2x}}$ .

Значит,

KP^.KM = $\displaystyle {\frac{x(y-z)}{2(y+z)}}$ ^. $\displaystyle {\frac{y^{2} - z^{2}}{2x}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (y - z)² = KH².

Следовательно, KH = $\sqrt{KP\cdot KM}$ = $\sqrt{ab}$ .

Ответ

$\sqrt{ab}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2738