Задача 54794

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Теорема косинусов ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Биссектриса угла ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В трапеции с основаниями 3 и 4 диагональ равна 6 и является биссектрисой одного из углов. Может ли эта трапеция быть равнобедренной?

Подсказка

Рассмотрите два случая и воспользуйтесь неравенством треугольника и теоремой косинусов.

Решение

  Пусть  AD = 4  и  BC = 3  – основания равнобедренной трапеции ABCD.
  Если диагональ AC – биссектриса угла A при большем основании AD, то  ∠ACB = ∠CAD = ∠BAC,  поэтому треугольник ABC – равнобедренный. Тогда
AB = BC = 3,  и  AC < AB + BC = 6.
  Если AC – биссектриса угла C при меньшем основании трапеции, то аналогично,  CD = AD = 4.  Так как угол ADC – острый, то по теореме косинусов
AC² < AD² + CD² = 32 < 36,  то есть  AC < 6.

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2740