Информация о задаче

Задача 54798

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC точка D делит сторону BC в отношении 2 : 1, считая от вершины B, а точка E — середина стороны AB. Известно, что медиана CQ треугольника CED равна ${\frac{\sqrt{23}}{2}}$ , и DE = ${\frac{\sqrt{23}}{2}}$ . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Подсказка

Обозначьте AB = BC = 6a, $\angle$ BAC = $\angle$ BCA = $\alpha$ и с помощью теоремы косинусов и формулы для медианы треугольника составьте систему уравнений относительно a² и cos² $\alpha$ .

Решение

Положим AB = BC = 6a, $\angle$ BAC = $\angle$ BCA = $\alpha$ . Тогда

AE = BE = 3a, BD = 4a, CD = 2a, AC = 12a cos $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ ABC = 180^o - 2 $\displaystyle \alpha$ .

Из треугольников AEC и BDE по теореме косинусов находим, что

CE² = 9a² + 144a²cos² $\displaystyle \alpha$ - 72a²cos² $\displaystyle \alpha$ = 9a² + 72a²cos² $\displaystyle \alpha$ ,

DE² = 9a² + 16a² + 24a²cos 2 $\displaystyle \alpha$ = 25a² + 24a²(2 cos² $\displaystyle \alpha$ - 1) = a² + 48a²cos² $\displaystyle \alpha$ .

По формуле для медианы из треугольника DEC находим, что

CQ² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2CE² + 2CD² - DE²) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{18a^{2} + 144a^{2} \cos ^{2}\alpha + 8a^{2} - \frac{23}{4}}\right.$ 18a² + 144a²cos² $\displaystyle \alpha$ + 8a² - $\displaystyle {\textstyle\frac{23}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{18a^{2} + 144a^{2} \cos ^{2}\alpha + 8a^{2} - \frac{23}{4}}\right)$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{26a^{2} + 144a^{2}\cos ^{2}\alpha - \frac{23}{4}}\right.$ 26a² + 144a²cos² $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{23}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{26a^{2} + 144a^{2}\cos ^{2}\alpha - \frac{23}{4}}\right)$ .

По уловию DE = ${\frac{\sqrt{23}}{2}}$ и CQ = ${\frac{\sqrt{23}}{2}}$ , поэтому имеем систему уравнений

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} a^{2} + 48a^{2}\cos ^{2}\al... ...\ 26a^{2} + 144a^{2}\cos ^{2}\alpha = \frac{115}{4}.\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} a^{2} + 48a^{2}\cos ^{2}\alpha = \frac{23}{4}\\ 26a^{2} + 144a^{2}\cos ^{2}\alpha = \frac{115}{4}.\\ \end{array}$

Умножив первое уравнение на -3 и сложив полученное уравнение со вторым, найдём, что a² = ${\frac{1}{2}}$ . Тогда

cos² $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{32}}$ , sin² $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{25}{32}}$ .

Пусть R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Тогда

R = $\displaystyle {\frac{BC}{2\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{6a}{2\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{2}}{\frac{5\sqrt{2}}{4}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{5}}$ .

Ответ

${\frac{12}{5}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2744