Информация о задаче

Задача 54808

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольник со сторонами AB = 4, BC = 2, AC = 3 вписана окружность. Найдите площадь треугольника AMN, где M, N — точки касания этой окружности со сторонами AB и AC соответственно.

Подсказка

Отрезок AM равен разности между полупериметром треугольника ABC и стороной BC.

Решение

Пусть p — полупериметр треугольника ABC. Тогда

AM = AN = p - BC = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{2}}$ - 2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{2}}$ .

По теореме косинусов находим, что

cos $\displaystyle \angle$ A = $\displaystyle {\frac{AB^{2}+ AC^{2}- BC^{2}}{2AB\cdot AC}}$ = $\displaystyle {\frac{16+9-4}{24}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{21}{24}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{8}}$ ,

поэтому

sin $\displaystyle \angle$ A = $\displaystyle \sqrt{1 - \frac{49}{64}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{15}}{8}}$ .

Следовательно,

S_AMN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AM^.AN sin $\displaystyle \angle$ A = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{5}{2}}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{5}{2}}\right)^{2}_{}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{15}}{8}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{25}{64}}$ $\displaystyle \sqrt{15}$ .

Ответ

${\frac{25}{64}}$ $\sqrt{15}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2754