Задача 54814

Темы:    [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты CC₁ и AA₁. Известно, что  AC = 1  и  ∠C₁CA₁ = α.
Найдите площадь круга, описанного около треугольника C₁BA₁.

Решение

  Треугольник C₁BA₁ подобен треугольнику CBA с коэффициентом  cos∠B = cos(90° – α) = sin α,  поэтому  A₁C₁ = AC sin α = sin α.
  Пусть R – радиус описанной окружности треугольника C₁BA₁. Тогда     а искомая площадь круга равна
πR² = ^π/₄ tg²α.

Ответ

^π/₄ tg²α.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2760