Информация о задаче

Задача 54820

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности равно ${\frac{2}{5}}$ . Найдите острые углы треугольника.

Подсказка

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c, равен ${\frac{a+b-c}{2}}$ .

Решение

Первый способ.

Пусть радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами a, b и гипотенузой c равен 2x, а радиус описанной окружности — 5x. Тогда c = 10x. Поэтому a² + b² = 100x².

Поскольку радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен ${\frac{a+b-c}{2}}$ , то имеем еще одно уравнение

a + b = 14x.

Из полученной системы уравнений, находим, что

a = 8x, b = 6x, или a = 6x, b = 8x.

Следовательно, тангенсы острых углов треугольника равны ${\frac{3}{4}}$ и ${\frac{4}{3}}$ .

Второй способ.

Пусть катеты данного прямоугольного треугольника равны a и b, гипотенуза равна c, а угол треугольника, противолежащий катету a, равен $\alpha$ (будем считать, что $\alpha$ $\leqslant$ ${\frac{\pi}{4}}$ ). Тогда радиус описанной окружности равен ${\frac{c}{2}}$ ,

sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{a}{c}}$ , cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{b}{c}}$ ,

а т.к. радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен ${\frac{a+b-c}{2}}$ , то

$\displaystyle {\frac{\frac{a+b-c}{2}}{\frac{c}{2}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{5}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{a}{c}}$ + $\displaystyle {\frac{b}{c}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{5}}$ $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ sin $\displaystyle \alpha$ + cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{5}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ cos $\displaystyle \left(\vphantom{\alpha - \frac{\pi}{4}}\right.$ $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\alpha - \frac{\pi}{4}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{7}{5\sqrt{2}}}$ ,

откуда находим, что

$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ + arccos $\displaystyle {\frac{7\sqrt{2}}{10}}$ .

Тогда второй острый угол равен

$\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ - $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ - arccos $\displaystyle {\frac{7\sqrt{2}}{10}}$ .

Ответ

${\frac{\pi}{4}}$ ±arccos ${\frac{7\sqrt{2}}{10}}$ , или arctg ${\frac{3}{4}}$ , arcctg ${\frac{3}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2766