Информация о задаче

Задача 54821

Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные на основание и боковую сторону, равны соответственно m и n. Найдите стороны треугольника.

Подсказка

Составьте систему уравнений относительно искомых сторон.

Решение

Пусть AB = AC = x — боковая сторона, BC = y — основание равнобедренного треугольника ABC, AM = m и CN = n — его высоты. Тогда

AB² - BM² = AM², $\displaystyle {\frac{AM}{AB}}$ = sin $\displaystyle \angle$ B = $\displaystyle {\frac{CN}{BC}}$ .

Таким образом имеем систему

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x^{2} - \frac{1}{4}y^{2} = m^{2}\\ \frac{m}{x} = \frac{n}{y},\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} x^{2} - \frac{1}{4}y^{2} = m^{2}\\ \frac{m}{x} = \frac{n}{y},\\ \end{array}$

из которой находим, что

x = $\displaystyle {\frac{2m^{2}}{\sqrt{4m^{2} - n^{2}}}}$ , y = $\displaystyle {\frac{2mn}{\sqrt{4m^{2} - n^{2}}}}$ .

Ответ

${\frac{2m^{2}}{\sqrt{4m^{2} - n^{2}}}}$ , ${\frac{2m^{2}}{\sqrt{4m^{2} - n^{2}}}}$ , ${\frac{2mn}{\sqrt{4m^{2} - n^{2}}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2767