Информация о задаче

Задача 54825

Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Прямоугольные треугольники ABC и ABD имеют общую гипотенузу AB = 5. Точки C и D расположены по разные стороны от прямой, проходящей через точки A и B, BC = BD = 3. Точка E лежит на AC, EC = 1. Точка F лежит на AD, FD = 2. Найдите площадь пятиугольника ECBDF.

Подсказка

S_AEF = ${\frac{1}{2}}$ AE^.AF sin 2 $\angle$ BAC.

Решение

Из прямоугольных треугольников ABC и ADB по теореме Пифагора находим, что AC = AD = 4. Поэтому AE = 3 и AF = 2. Обозначим $\angle$ BAC = $\angle$ BAD = $\alpha$ . Тогда

sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ , cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ .

Значит,

S_AEF = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AE^.AF sin 2 $\displaystyle \alpha$ = AE^.AF sin $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \alpha$ = 3^.2^. $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{72}{25}}$ .

Следовательно,

S_ECBDF = 2S_ABC - S_AEF = 12 - $\displaystyle {\textstyle\frac{72}{25}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{228}{25}}$ = 9, 12.

Ответ

9,12.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2771