Информация о задаче

Задача 54839

Тема:

[

]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD отрезок CM, соединяющий вершину C с точкой M, расположенной на стороне AD, пересекает диагональ BD в точке K. Известно, что CK : KM = 2 : 1, CD : DK = 5 : 3 и $\angle$ ABD + $\angle$ ACD = 180^o. Найдите отношение стороны AB к диагонали AC.

Подсказка

Рассмотрите треугольники ABD, ACD, MDK, MDC и воспользуйтесь теоремой синусов.

Решение

Обозначим $\angle$ ADB = $\alpha$ , $\angle$ ADC = $\beta$ . Рассмотрим треугольники ABD и ACD. По теореме синусов

$\displaystyle {\frac{AB}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{AD}{\sin \angle ABD}}$ = $\displaystyle {\frac{AD}{\sin (180^{\circ } - \angle ACD)}}$ = $\displaystyle {\frac{AD}{\sin \angle ACD}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{\sin \beta}}$ ,

откуда находим, что ${\frac{AB}{AC}}$ = ${\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}}$ .

Пусть MK = x, CD = 5y, $\angle$ CMD = $\gamma$ . Рассмотрим треугольники MDK и MDC. По теореме синусов

$\displaystyle {\frac{x}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{3y}{\sin \gamma}}$ , $\displaystyle {\frac{3x}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{5y}{\sin \gamma}}$ ,

откуда находим, что

sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{x\sin \gamma}{3y}}$ , sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{3x\sin \gamma}{5y}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{AB}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{9}}$ .

Ответ

5:9.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2785